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写在前面

总结常见的各种曲线曲面积分以及重积分，参考华东师大版《数学分析(下册)》（第四版）。

曲线积分

研究定义在平面或空间曲线段上的函数的积分。

第一型曲线积分

引入

利用密度函数的积分求质量，即在计算质量分布在平面（二维）或空间曲线段（三维）$L$上的物体的质量时，使用第一型曲线积分。第一型曲线积分与曲线的方向无关。

定义

设$L$为平面上可求长度的曲线段，$f(x,y)$是定义在$L$上的函数。对曲线$L$作分割$T$,它把$L$分割成$n$个可求长度的小曲线段$L_i(i=1,2,\cdots ,n)$，$L_i$的弧长记为$\Delta s_i$，分割$T$的细度为$\Vert T\Vert =\underset{1⩽i⩽n}{\max }\Delta s_i$，在$L_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i),i=1,2,\cdots ,n$. 若有极限
$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta s_i=J,$$
且$J$的值与分割$T$、点$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关，则称此极限为$f(x,y)$在$L$上的第一型曲线积分，记作
$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s.$$

性质

1. 线性性；

2. 区间可加性；

3. 积分不等式；

4. 绝对值不等式；

5. 若${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s$存在，$L$的弧长为$s$，则存在常数$c$，使得
   $${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s=cs,$$
   这里$\underset{L}{\inf }f(x,y)⩽c⩽\underset{L}{\sup }f(x,y)$.

6. 几何意义：以定义在平面$Oxy$上的分段光滑曲线$L$为准线，母线平行于$z$轴的柱面截取$0⩽z⩽f(x,y)$部分的面积。

计算方法

定理：

设有光滑曲线
$$L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ],$$
函数$f(x,y)$为定义在$L$上的连续函数，则有
$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t),\psi (t))\sqrt{{\phi }^{\prime 2}(t)+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}t.$$
证明思路：由弧长公式和积分中值定理得到。

另一种常用的格式：

当曲线$L$由方程$y=\psi (x),x\in [a,b]$表示，且$\psi (x)$在$[a,b]$上有连续导函数时，有
$${\int }_{L}f(x,y)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x,\psi (x))\sqrt{1+{\psi }^{\prime 2}(t)}\mathrm{d}x.$$

第二型曲线积分

引入

物理学中的变力做功问题。第二型曲线积分与曲线的方向有关。

定义

设函数$P(x,y),Q(x,y)$定义在平面有向可求长度曲线$L:\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$上。对$L$的任一分割$T$, 它把$L$分成$n$个小弧段
$$M_{i-1}{M}_i(i=1,2,\cdots ,n)$$
其中$M_0=A,M_n=B$, 记各小弧段$M_{i-1}{M}_i$的弧长为$\Delta s_i$，分割$T$的细度$\Vert T\Vert =\underset{1⩽i⩽n}{\max }\Delta s_i$. 又设$T$的分点$M_i$的坐标为$(x_i,y_i)$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}(i=1,2,\cdots ,n)$。在每个小弧段$M_{i-1}{M}_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$，若极限
$$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}P({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta x_i+\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}Q({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta y_i$$
存在且与分割$T$与点$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关，则称此极限为函数$P(x,y),Q(x,y)$沿有向曲线$L$上的第二型曲线积分，记为
$${\int }_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\text{或}{\int }_{AB}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y.$$
若$L$为封闭的有向曲线，则记为
$${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y.$$

性质

1. 线性性；
2. 有向线段首尾相接，积分值不变（向量加法）；
3. 方向改变，符号相反，即：${\int }_{AB}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=-{\int }_{BA}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$.

计算

设平面曲线
$$L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}t\in [\alpha ,\beta ],$$
其中 $\phi (t),\psi (t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有一阶连续导函数，且$A=(\phi (\alpha ),\psi (\alpha )),B=(\phi (\beta ),\psi (\beta ))$，又设$P(x,y)$与$Q(x,y)$为$L$上的连续函数，则沿$L$从$A$到$B$的第二型曲线积分
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{AB}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y\\ =& {\int }_{\alpha }^{\beta }[P(\phi (t),\psi (t)){\phi }^{\prime }(t)+Q(\phi (t),\psi (t)){\psi }^{\prime }(t)]\mathrm{d}t.\end{array}$$

二重积分

引入

计算曲顶柱体的体积。

定义

与定积分类似。

性质

1. 线性性；

2. 积分不等式；

3. 积分的绝对值不等式；

4. 若函数$f(x,y)$在$D_1,D_2$上都可积，且$D_1,D_2$没有公共内点，则$f(x,y)$在$D_1\bigcup D_2$上也可积，且
   $$\underset{D_1\bigcup D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma .$$

5. 若$f(x,y)$在$D$上可积，且
   $$m⩽f(x,y)⩽M,(x,y)\in D,$$
   则
   $$m{S}_D⩽\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽M{S}_D,$$
   这里$S_D$为积分区域$D$的面积；

6. （中值定理）若$f(x,y)$在有界闭域$D$上连续，则存在$(\xi ,\eta )\in D$，使得
   $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )S_D.$$
   其几何意义是：以$D$为底，$x=f(x,y)(f(x,y)⩾0)$为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，此平顶柱体的高等于$f(x,y)$在区域$D$中某点$(\xi ,\eta )$的函数值$f(\xi ,\eta )$.

Green公式

若函数$P(x,y),Q(x,y)$在闭区域$D$上连续，且有连续的一阶偏导数，则有
$$\iint \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma ={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y,$$

这里$L$为区域$D$的边界曲线，并取正方向。

Green公式联系了第二型曲线积分与二重积分。

曲线积分与路线的无关性

设$D$为单连通区域，若函数$P(x,y),Q(x,y)$在$D$内连续，且具有一阶连续偏导数，则下列的四个条件等价：

1. 沿$D$内任一按段光滑封闭曲线$L$有：
   $${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0;$$

2. 对$D$中任一按段光滑曲线$L$，曲线积分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$与路线无关，只与$L$起始点的选取有关;

3. $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$是$D$内某一函数$u(x,y)$的全微分，即在$D$内有$\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$;

4. 在$D$内处处成立
   $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$

变量替换

直角坐标变换

用于一般的变量替换。

设$f(x,y)$在有界闭域$D$上可积，变换$T:x=x(u,v),y=y(u,v)$将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域$\Delta$一对一地映成$xy$平面上的闭区域$D$，函数$x(u,v),y(u,v)$在$\Delta$内分别具有一阶连续偏导数，且它们的函数行列式
$$J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ & \\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|\ne 0,(u,v)\in \Delta ,$$
则
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D}{\iint }f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|\mathrm{d}u\mathrm{d}v.$$

极坐标变换

常用于$x^2+y^2$类型出现在被积函数中的情况，利用极坐标变换可以更有效地化简积分。

设$f(x,y)$在有界闭域$D$上可积，且在极坐标变换
$$T:\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta ,\end{array}0⩽r<+\infty ,0⩽\theta ⩽2\pi$$
作用下，$xy$平面上有界区域$D$与$r\theta$平面上区域$\Delta$对应，则成立
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{D}{\iint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta .$$

广义极坐标变换

$$T:\{\begin{array}{l}x=ar\cos \theta ,\\ y=br\sin \theta ,\end{array}0⩽r<+\infty ,0⩽\theta ⩽2\pi$$

则有$J(r,\theta )=abr$.

三重积分

引入

对密度函数进行积分，求一个空间立体的质量，就可导出三重积分。

化成累次积分

“先切条，后扎捆”：先对高积分，后对截面积分

若函数$f(x,y,z)$在长方体$V=[a,b]\times [c,d]\times [e,h]$上的三重积分存在，且对任意$(x,y)\in [a,b]\times [c,d]$，$g(x,y)={\int }_a^{b}f(x,y,z)\mathrm{d}z$存在，则积分$\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$也存在，且
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{D}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_e^{h}f(x,y,z)\mathrm{d}z.$$
推论：

对于上下限可变的情形，可类似得到
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{D}{\iint }\mathrm{d}x\mathrm{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z,$$
此时$D$为$V$在$Oxy$平面上的投影。

“先切面，后叠加”：先对截面积分，后对高积分

若函数$f(x,y,z)$在长方体$V=[a,b]\times [c,d]\times [e,h]$上的三重积分存在，且对任意$x\in [a,b]$，二重积分$I(x)=\underset{D}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$存在，其中$D=[c,d]\times [e,h]$，则积分${\int }_a^b\mathrm{d}x\underset{D}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$也存在，且
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int }_a^b\mathrm{d}x\underset{D}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z.$$
推论(常用)：

若函数$f(x,y,z)$在长方体$V\subset [a,b]\times [c,d]\times [e,h]$上的三重积分存在，且对任意固定的$z\in [e,h]$，积分$\phi (z)=\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z$存在，其中$D_z$为截面$\{(x,y)|(x,y,z)\in V\}$，则积分${\int }_e^h\phi (z)\mathrm{d}z$存在，且
$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z={\int }_e^h\phi (z)\mathrm{d}z={\int }_e^h\mathrm{d}z\underset{D_z}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

变量替换

一般情况

$$\begin{array}{rl}& \underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =\underset{V^{\prime }}{\iiint }f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w.\end{array}$$

柱面坐标变换

$$\underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{V^{\prime }}{\iiint }f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z.$$

球坐标变换

$$\begin{array}{rl}& \underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =\underset{V^{\prime }}{\iiint }f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta .\end{array}$$

广义球坐标变换

$$\begin{array}{rl}& \underset{V}{\iiint }f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ & =\underset{V^{\prime }}{\iiint }f(ar\sin \phi \cos \theta ,br\sin \phi \sin \theta ,cr\cos \phi )abc{r}^2\sin \phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta .\end{array}$$

曲面积分

第一型曲面积分

引入

可类比第一型曲线积分，不过此时质量分布在某一曲面块上而非曲线上。

计算

设有光滑曲面
$$S:z=z(x,y),(x,y)\in D,$$
$f(x,y,z)$为$S$上的连续函数，则
$$\underset{S}{\iint }f(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D}{\iint }f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

第二型曲面积分

曲面的侧

通常由$z=z(x,y)$所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与$z$轴正向的夹脚成锐角的一侧（上侧）为正侧时，则另一侧（下侧）为负侧。当$S$为封闭曲面时，常规定曲面外侧为正侧，内侧为负侧。

引入

计算流体以以一定的流速从曲面负侧向正侧流动时产生的流量。

性质

1. 线性性；
2. 积分曲面的加性。

计算

设$R$是定义在光滑曲面$S:z=z(x,y),(x,y\in D_{xy})$上的连续函数，以$S$的上侧为正侧（这时$S$的法线方向与$z$轴正向成锐角），则有
$$\underset{S}{\iint }R(x,y,z)\mathrm{d}S=\underset{D_{xy}}{\iint }R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

Gauss公式

建立沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的联系。

定理

设空间区域$V$由分片光滑的双侧封闭曲面$S$围成。若函数$P,Q,R$在$V$上连续，且有一阶连续偏导数，则
$$\underset{V}{\iiint }\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\underset{S}{\iint }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$
其中$S$取外侧。

Stokes公式

建立沿空间双侧曲面的积分与沿其边界曲线的积分之间的联系。

右手法则

人沿着曲面边界前进，左手边为指定的一侧，正向；右手边为指定的一侧，负向。

定理

设光滑曲面$S$的边界$L$是按段光滑的连续曲线。若函数$P,Q,R$在$S$(连同$L$)上连续，且有一阶连续偏导数，则
$$\begin{array}{rl}& \underset{S}{\iint }\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z,\end{array}$$
其中$S$的侧与$L$的方向按右手法则确定。

另一种形式

$$\underset{S}{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & & \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ & & \\ P& Q& R\end{array}\right|={\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z,$$

空间曲线积分与路线的无关性

设$\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$为空间单连通区域，若函数$P,Q,R$在$\Omega$上连续，且具有一阶连续偏导数，则下列的四个条件等价：

1. 沿$\Omega$​内任一按段光滑封闭曲线$L$有：
   $${\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=0;$$

2. 对$\Omega$中任一按段光滑曲线$L$，曲线积分${\int }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$与路线无关;

3. $P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$是$\Omega$内某一函数$u$的全微分，即在$\Omega$内有$\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$;

4. 在$\Omega$内处处成立
   $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial z}.$$

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